Как можно поддержать человека, который расстраивается из-за пустяков?

Примерно так.

"Ты знаешь, как англичане говорят? Take it easy. Вот это тебе и необходимо научиться. Кстати, что ты такой чувствительный, это не значит, что безнадежный. Тебе такая фамилия - Харламов - знакома? Нет-нет, не Гарик, а совсем другой (не помнят нынче на Руси своих героев) - самый наш знаменитый хоккеист 70-х. Так вот, на заре своей карьеры он после проигрыша, любой неудачи на льду ну просто убивался, на что ему тренер (Чернышов) заметил: "Если ты каждый раз будешь пребывать в таком трауре и казнить себя, тебя надолго просто не хватит". И Харламов внял совету. Он был настоящий кремень, ему удавалось выкарабкиваться из самых тяжких переделок - что уж говорить о пустяках. И при этом ему абсолютно были не свойственны толстокожесть и "каменносердие" - вот этого он у себя не выработал, да в этом и не было необходимости (более того, это было бы даже вредно). Вот и есть, с кого брать пример. И помни, что в конце концов "то, что тебя не убило, сделало сильней". "Никуда не деться мне от неудач" - поется в известной песне, вот и не стоит строить иллюзий, что однажды по мановению неизвестно какой палочки все неудачи окажутся в прошлом. Какой тут еще достойный пример можно привести? Помнишь, что Жеглов Шарапову даже не посоветовал, а почти приказал? - "Не имей привычки сразу впадать в отчаяние". - Шарапову по неопытности показалось, что все - тупик, а Жеглов же его не оплеухой, но щелчком вразумил. Да наверняка и среди твоего круга найдутся достойные примеры... Помни и о том, что миллионам и миллионам людей сейчас гораздо тяжелее, чем тебе, а они молодцами держатся. Держись и ты. Ведь "жизни на свете чуть больше, чем смерти, а света на свете чуть больше, чем тьмы"".

Вот так примерно - отчасти по-братски, отчасти по-отечески.