Каким образом правильно воспитывается чувство ответственности?

В первую очередь, ребёнок всё должен видеть на примере родителей. Он как раз с них-то всё и копирует. Если родители пускают всё на самотёк, всё на авось, не хотят решать проблемы, часто просто отмахиваются от чего-то, потому что им просто лень или не интересно, разрешают не делать чего-то, что на самом деле желательно сделать - ребёнок понимает, что можно и так, и потом его уже не перевоспитать.

То есть, закладывается это с самого раннего детства. И не позже (мол, пусть ещё подрастёт - тогда буду воспитывать в нём мужика). Нельзя сначала расслаблять его, потому что он ещё маленький, а потом вдруг начинать менять.

Прежде всего ответственными должны быть сами родители, которые для ребёнка - наглядное пособие, а взаимоотношение между членами семьи служит моделью взаимоотношений между людьми во взрослом обществе.

Ответственность в семье - это справедливое распределение того, кто за что отвечает, кто какой вклад вносит в семейную жизнь в соответствии со своими возможностями и способностями. В обязанности детей входит необходимость следить за своей гигиеной (или тех, кто младше), за порядком в своём внешнем виде, в детской комнате, поливать цветы в других комнатах и т.п. Каждый член семьи должен иметь личное время, когда он занимается, чем хочет, и никто его в это время не беспокоит, и так далее.

Родители в присутствии детей должны воздерживаться от неуважительных замечаний о соседях, коллегах, о начальстве на работе и выше, однако и воспитывать принципиальность в решении вопросов, позволяющих служить этому примером. Всё это предполагает и совместное обсуждение некоторых возникающих в семье проблем.

Не надо думать, что это какая-то идеальная жизнь. Не надо ничего особенного придумывать - это просто обычная жизнь для большинства нормальных людей. Но вот такая уважительная друг к другу атмосфера в семье позволяет надеяться, что дети вырастут ответственными и порядочными людьми.