Почему казачество связывают с Украиной?

Ну, наверное потому, что, действительно, на протяжении нескольких веков история значительной части территории нынешней Украины была тесно связана с казачеством. Довольно высокий процент населения Центральной и Восточной Украины в 16-18 веках либо были непосредственно казаками, либо могли стать ими, просто сбежав на Запорожскую Сечь или записавшись в один из ближайших казачьих полков. Украина в это время была приграничной территорией, соседствовавшей с территорией Крымского ханства, и казаки, как вольные, так и служившие польским королям и московским царям, были, по сути, единственной реальной преградой на пути регулярных набегов степняков. Вплоть до конца 18-го века подвластная московским царям и российским императорам территория Малороссии делилась на казачьи полки, к которым было приписано население ближайших окрестностей. Позднее, с ликвидацией Крымского ханства надобность в украинских казаках отпало, и казачество в Малороссии ликвидировали, переведя часть казаков на Кубань и Кавказ.

Что касается того, является ли именно Украина колыбелью казачество, то здесь вопрос спорный. Некоторые считают, что казачество ведёт свою родословную от вольных дружин донских бродников, известных ещё с 12-13-го века.

Это миф. Прямой связи между казаками и жителями современной Украины нет. На территории Украины нет казаков, но когда-то они там жили и оставили свой след, который современная Украина пытается присвоить и сделать своей историей. Хотя пока - юридически часть земель донских казаков, некогда оторванных от Дона, находятся в юрисдикции современной Украины