Может ли директор ООО назначить сам себя приказом ответственным за что-то?

Я не считаю, что приказывать самому себе - это нормально.

У нас было так: приказ о назначении нашего руководителя ответственным лицом подписывал руководитель вышестоящей организации с ознакомлением нашего руководителя. Если вышестоящей организации нет (если есть - это дела тоже не меняет) ответственность руководителя должна быть прописана в его должностной инструкции, с которой руководитель по-любому должен быть ознакомлен, даже если он эту инструкцию сам утверждает. Руководитель своим приказом может назначить ответственным другое должностное лицо, а за собой оставить контроль. Если он хочет сам отвечать, мне кажется, приказ самому на себя писать не обязательно, но каши маслом не испортишь, если хочется - можно, конечно, издать такой приказ, но по закону человек, на которого возлагается ответственность, с приказом должен быть ознакомлен. Поэтому я бы графу ознакомления убрать не решилась. Если контролирующие и инспектирующие органы требуют такой приказ, можно попросить у них шаблон.

Да, это нормально. Такие документы корректны и в налоговых и в банках других контролирующих органах.

Да, может. Директор отвечает за ведение хозяйственной деятельности предприятия и моет назначать ответственных за направления приказом, включая назначение себя. Часто, когда в компании отсутствует должность главного бухгалтера, ответственность за ведение бухгалтерского учета возлагает на себя директор, так же может быть и с ответственностью за охрану труда на предприятии.