Кто начисляет премию работникам детсада: заведующая или отдел образования?

Начисляет бухгалтерия!

А вот команда для начисления премии исходит от руководителя дошкольной образовательной организации. Любой детский сад - это юридическое лицо, у которого существует свой руководитель (заведующая).

А вот премию заведующей начисляется по команде от управления образования или администрации города (района), т.к. она там принимается на работу.

Ну кто по вашему лучше знает, кто и как работает? Начальник непосредственный или более вышестоящий? РайОНО может распределять только премиальный фонд, устанавливая его по отчетным показателям детсада. Может еще ограничить аппетиты заведущей, обговорив особо, что из общего фонда премия самой заведующей не может быть более 15%. Остальную же сумму распределяет именно заведущая детсадом. При этом, если она принципиально подходит к этому делу, то ей не важны титулы, звания и другие прошлые заслуги того или иного претендента на данную конкретную премию.