Когда, за всё время существования России, в ней были народные суды?

В конце 19 - начале 20 вв.

Народный суд - это вообще понятие сказочное. Как дед Мороз или Баба-Яга. Судят, даже если при этом и говорится "Народ против Ларри Флинта", конкретные люди, и их немного. Максимум 12. Если больше, то это уже не народный суд, а суд Линча. Вот он действительно "народный".

Поэтому нормальный народный суд - это суд присяжных, где решение о виновности выносят именно представители народа (собсно, парламент во многом имеет сходную природу: важные для всего народа решения принимает не весь народ, а его представители). И такой суд таки да, был в России создан после судебной реформы 1864 года (процесс реформирования судебной системы растянулся более чем на 30 лет).

Ключевой признак народного суда, имхо, - его независимость. Даже и в Советской Конституции было записано "Судьи независимы и подчиняются только закону" (ст. 112), в нынешней записано примерно то же самое. Только независимый суд и можно считать народным, потому что суд зависимый служит не народу, а тому, от кого он зависит.

И вот суды Российской империи в значительной степени этому критерию удовлетворяли. Хрестоматийный пример - оправдание судом присяжных Веры Засулич, стрелявшей в петербургского градоначальника, и это ведь не единственный такой пример.

Независимыми, а значит - народными были поначалу и суды современной России. Но вот более подробное обсуждение этой темы, боюсь, отвлечёт нас далеко в сторону...