Может ли по правилам футбольная команда играть без вратаря?

Нет, без вратаря команде играть не разрешается.

Если вратаря удаляют или же вратарь сам покидает футбольное поле — то в ворота должен быть поставлен новый (другой) вратарь.

Если другого вратаря нет — то тогда один из полевых игроков обязан встать на место вратаря.

Если и это не будет выполнено — в таком случае судья обязан прекратить игру.

По правилам футбола матч проводится с участием двух команд. Число игроков в каждой команде не более 11 и не менее 7, включая вратаря.

То есть, обязательно объявить, кто будет вратарём.

Играть без вратаря нельзя

Другое дело, что вратарь может быть вратарём-гонялой и бегать как нападающие к воротам противника. Но никто кроме него не может в своей штрафной площадке брать мяч руками. Исключение - он не может брать руками мяч, переданный ему другим футболистом своей команды ногой (умышленно).

Если по каким-то причинам все вратари команды вышли из строя, то в ворота становится любой игрок команды. Но ему совершенно не обязательно при этом всё время стоять у ворот.